Logaritmus – elméleti összefoglaló

Definíció

Legyen a egy pozitív valós szám, amely nem egyenlő 1-gyel (a > 0, a ≠ 1), és b egy pozitív valós szám (b > 0). A b szám a alapú logaritmusának nevezzük azt a valós számot, amelyre az a-t emelve b-t kapunk.

log_ab = c a^c = b

Itt a a logaritmus alapja, b a numerus vagy argumentum, c pedig a logaritmus értéke, azaz a hatványkitevő.

Fontos feltételek

A logaritmus alapja pozitív és nem lehet 1 (a > 0, a ≠ 1).
A logaritmus argumentuma (numerus) pozitív (b > 0).
A logaritmus értéke (a kitevő) bármilyen valós szám lehet.

Alapvető tulajdonságok

log_a1 = 0, mert a⁰ = 1.
log_aa = 1, mert a¹ = a.
Ha a^x = a^y, akkor x = y (a hatványfüggvény injektív).

Leggyakrabban használt logaritmusok

Tízes alapú logaritmus (decimális logaritmus), jelölése: lg x, azaz log₁₀ x.
Kettes alapú logaritmus, jelölése: log₂ x, gyakori a számítástechnikában.
Természetes logaritmus, az e ≈ 2,71828 alapú logaritmus, jelölése: ln x, azaz log_e x.

Logaritmus azonosságok

Szorzat logaritmusa: log_a(xy) = log_ax + log_ay
Hányados logaritmusa: log_a(x/y) = log_ax - log_ay
Hatvány logaritmusa: log_a(x^r) = r · log_ax, ahol r valós szám
Alapváltoztatás képlete: log_ab = log_cb / log_ca (ahol a, b, c > 0, a, c ≠ 1)
Inverz tulajdonság: log_ab = 1 / log_ba

Logaritmusfüggvény tulajdonságai

Értelmezési tartománya: (0, +∞).
Értékkészlete: ℝ (minden valós szám lehet a logaritmus értéke).
Ha a > 1, akkor a függvény szigorúan monoton növekvő.
Ha 0 < a < 1, akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő.
A logaritmusfüggvény zérushelye: x = 1, mert log_a1 = 0.

Kapcsolat az exponenciális függvénnyel

A logaritmusfüggvény az exponenciális függvény inverze. Ha y = log_ax, akkor x = a^y. Ez azt jelenti, hogy a logaritmus a hatványkitevő keresésének művelete.