20 gyakorló feladat logaritmus témakörben

Az alábbi feladatok a logaritmus alapfogalmaira, azonosságaira, egyenletekre és átalakításokra fókuszálnak.

  1. Oldd meg: log9x = -2
  2. Oldd meg: log7x = 3
  3. Oldd meg: log0,1x = -1
  4. Oldd meg: log1000x = -2/3
  5. Oldd meg: lg x = 0
  6. Oldd meg: lg x = 0,3010
  7. Számítsd ki: log216
  8. Számítsd ki: log5125
  9. Számítsd ki: log100,01
  10. Számítsd ki: log327
  11. Egyszerűsítsd: loga(x3)
  12. Egyszerűsítsd: log28 + log24
  13. Egyszerűsítsd: log525 - log55
  14. Oldd meg: log3(x - 2) = 2
  15. Oldd meg: log4(x2 - 9) = 2
  16. Oldd meg: log2|x| = 4
  17. Oldd meg: 2 lg 5 + lg x = 1 - lg 2
  18. Oldd meg: lg(x - 9) + lg(2x - 1) = 2
  19. Oldd meg: lg(x - 3) + lg(x - 2) = 1 - lg 5
  20. Oldd meg: log32x - 3 log3x - 4 = 0

Végeredmények és megoldások

1. x = 9-2 = 1/81
2. x = 73 = 343
3. x = 0,1-1 = 10
4. x = 1000-2/3 = 1/100
5. x = 100 = 1
6. x = 100,3010 ≈ 2
7. log216 = 4
8. log5125 = 3
9. log100,01 = -2
10. log327 = 3
11. loga(x3) = 3 logax
12. log28 + log24 = 3 + 2 = 5
13. log525 - log55 = 2 - 1 = 1
14. x - 2 = 32 = 9 → x = 11
15. x2 - 9 = 42 = 16 → x2 = 25 → x = ±5 (értelmezési tartomány miatt x ≥ 3 → x = 5)
16. |x| = 24 = 16 → x = ±16
17. 2 lg 5 + lg x = 1 - lg 2 → lg(52) + lg x = lg(10) - lg 2 → lg(25x) = lg(10/2) = lg 5 → 25x = 5 → x = 1/5
18. lg(x - 9) + lg(2x - 1) = 2 → lg[(x - 9)(2x - 1)] = 2 → (x - 9)(2x - 1) = 102 = 100 → 2x² - x - 18x + 9 = 100 → 2x² - 19x + 9 - 100 = 0 → 2x² - 19x - 91 = 0 Megoldva: x = 13 vagy x = -3, de x - 9 > 0 → x > 9, tehát x = 13
19. lg(x - 3) + lg(x - 2) = 1 - lg 5 → lg[(x - 3)(x - 2)] = lg(10) - lg 5 = lg(2) → (x - 3)(x - 2) = 2 → x² - 5x + 6 = 2 → x² - 5x + 4 = 0 → (x - 4)(x - 1) = 0 Értelmezési tartomány miatt x > 3 → x = 4
20. Legyen y = log3x Egyenlet: y² - 3y - 4 = 0 Megoldás: (y - 4)(y + 1) = 0 → y = 4 vagy y = -1 Tehát: log3x = 4 → x = 34 = 81 vagy log3x = -1 → x = 3-1 = 1/3