1. Írd fel egyetlen hatványként!

a) 2^-4 · 4^0.5 = 2^-4 · (2²)^0.5 = 2^-4 · 2¹ = 2^-3
b) (3^1.5)² = 3³ = 27
c) √8² = √64 = 8
d) (√⁵10)^10/3 = (10^1/5)^10/3 = 10^2/3

2. Add meg a következő kifejezések értékét!

a) log₃1 = 0
b) log₄(1/2) = log₄(2^-1) = -1 · log₄2 = -1 · (1/2) = -0.5
c) 6^log₆5 = 5
d) 3 log₃4 = log₃(4³) = log₃64

3. Írd hatványalakban az alábbi kifejezéseket, majd határozd meg az ismeretlenek értékét!

a) log₈k = 4/3 → k = 8^4/3 = (2³)^4/3 = 2⁴ = 16
b) log_0.54 = m → 0.5^m = 4 → (1/2)^m = 2² → 2^-m = 2² → m = -2
c) log_a243 = 5 → a⁵ = 243 → a = 243^1/5 = 3

4. Oldd meg az egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

((2^x)/3)³ ≤ 4/9
→ (2^x)³ / 27 ≤ 4/9
→ 8^x / 27 ≤ 4/9
→ 8^x ≤ (4/9) · 27 = 12
→ 2^3x ≤ 12
→ 3x log 2 ≤ log 12
→ x ≤ log₂12 / 3 ≈ 3.58496 / 3 ≈ 1.195

5. A polónium radioaktív izotópjának bomlása

A polónium izotópok száma 1 hónap alatt 1 molról (6 · 10²³)
5,16 · 10²³ db atomra csökkent. A bomlás exponenciális folyamat.

a) Hányadrészére csökken fél év alatt?
1 hónap alatt: N₁ = 5,16 · 10²³ / 6 · 10²³ = 0,86 → arány: 0,86 havonta
Fél év = 6 hónap → 0,86⁶ ≈ 0,45 → Az izotópok száma a kezdeti érték ~45%-ára csökken.

b) Mennyi idő alatt csökken 20% alá?
Keressük azt az n-t, ahol:
0,86ⁿ < 0,2
log(0,86ⁿ) < log(0,2) → n · log(0,86) < log(0,2)
n > log(0,2) / log(0,86) ≈ (-0.699) / (-0.0669) ≈ 10,45 hónap

c) Mennyi a folyamat felezési ideje?
0,5 = 0,86^t → log(0,5) = t · log(0,86) → t = log(0,5) / log(0,86)
t ≈ (-0.301) / (-0.0669) ≈ 4,5 hónap

6. Pénzügyi döntés – Melyik befektetés éri meg jobban?

Hajni: évi 8% kamat, 3 év lekötés, egyszeri kamatos kamat:
K_Hajni = 50 000 · (1 + 0,08)³ = 50 000 · 1,2597 ≈ 62 985 Ft

Csilla: havi 0,7% kamat, 34 hónapra:
K_Csilla = 50 000 · (1 + 0,007)³⁴ = 50 000 · (1,007)³⁴ ≈ 50 000 · 1,2682 ≈ 63 410 Ft

Következtetés: Csilla befektetése éri meg jobban, mivel több pénzt kap vissza a futamidő végén.

TUDÁSPRÓBA II.

1. Írd fel egyetlen hatványként!

a) 3^-4 · 3⁷ = 3^{-4 + 7} = 3³
b) (2^0.5)⁸ = 2^{0.5 · 8} = 2⁴
c) √⁷(6³) = (6³)^1/7 = 6^3/7
d) (√⁴5)^2/3 = (5^1/4)^2/3 = 5^2/12 = 5^1/6

2. Add meg a következő kifejezések értékét!

a) log₂0,5 = log₂(2^-1) = -1
b) log₇(∛³7) = log₇(7^1/3) = 1/3
c) 7^log₇4 = 4
d) (1/3)^log₃12 = 3^-1log₃12 = 12^-1 = 1/12

3. Írd hatványalakban az alábbi kifejezéseket, majd határozd meg az ismeretlenek értékét!

a) log₂₇k = 2/3 → k = 27^2/3 = (3³)^2/3 = 3² = 9
b) log_0.58 = m → 0.5^m = 8 → (1/2)^m = 2³ → 2^-m = 2³ → m = -3
c) log_a128 = 7 → a⁷ = 128 → a = 128^1/7 = 2